2.7.9 Магнитное поле прямоугольного провода с током

Flash модель

Вычислим распределение магнитного поля в пространстве, создаваемое прямоугольным проводником с плотностью тока , длиной , шириной и толщиной , причём и (рис. 1).

Рис. 1.  Поперечное сечение прямоугольного проводника.	Рис. 2.  Схематическое изображение бесконечно тонкой нити, по которой течёт постоянный ток .

Согласно закону Био-Савара-Лапласа [1,2], магнитное поле , создаваемое бесконечно тонкой и длиной ниткой, на расстояние от неё (рис. 2) в гауссовой системе определяется выражением

(1)

где , – скорость света, – ток, протекающий по нити, и магнитное поле сонаправлено с векторным произведением .

 

Разобьём поперечное сечение проводника на бесконечное число нитей сечением (рис. 1). Тогда, магнитное поле, создаваемое каждой элементарной ниткой в точке в соответствии с формулой (1) определяется выражением

(2)

где , – плотность тока, – наикратчайшее расстояние от элементарной нити до точки A, – угол между вектором и осью X, причём , . В дальнейшем, магнитное поле вдоль оси Y не будет вычисляться, так как очевидно, что в произвольной точке оно равно нулю.

 

Суммарное магнитное поле, в точке , можно вычислить, проинтегрировав выражение (2) по всему поперечному сечению проводника

(3)

где была выполнена замена переменных . Интегралы вида

(4)

выражаются через аналитические функции следующим образом:

(5)

 

Производные функций и вдоль оси Z, в соответствии с (5), определяются формулами

(6)

 

Аналогично, вторые производные функций и вдоль оси Z, в соответствии с (5) определяются выражениями

(7)

 

Таким образом, магнитное поле , заданное выражениями (3) выражается через формулы (5) следующим образом

(8)

 

Производные компонент магнитного поля вдоль оси Z, по аналогии с (8), в соответствии с (6) определяются выражениями

(9)

 

Вторые производные компонент магнитного поля вдоль оси Z, по аналогии с (8), в соответствии с (7) определяются выражениями

(10)

 

Зная выражения для первой и второй производных магнитного поля, можно рассчитать силу взаимодействия магнитного зонда (и ее производную) и проводника с током. Данные вычисления для случаев различной геометрии зонда приведены в приложении.

На основе теории малых колебаний зонда (см. пункт 2.3.4) также разработана специальная Flash модель, которая теоретически вычисляет изменение амплитуды, фазы, частоты колебаний зонда в процессе второго прохода стандартного динамического МСМ режима над поверхностью образца.

---

Выводы.

• Получены аналитические зависимости пространственного распределения магнитного поля, его первой и второй производной над поверхностью прямоугольного проводника с током, см. формулы (8-10).
• Теоретические зависимости пространственного распределения магнитного поля, его первой и второй производной в зависимости от параметров проводника можно проанализировать в специально разработанном Flash приложении.

Литература.

1. Д.В. Сивухин. Электричество (Общий курс физики). М.: Наука 1983. - 688 c.
2. Р. Фейнман., Р. Лейтос., М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм. М.: МИР 1977. - 299.