2.7.10 Магнитное поле кольца с током

Вычислим магнитное поле, создаваемое кольцом радиуса по которому протекает постоянный ток (рис. 1). Считаем, что ширина и толщина проводника кольца намного меньше чем .


Рис. 1. Схематическое изображение кольца с током.	Рис. 2. Поперечное сечение кольца.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа [1,2], магнитное поле, создаваемое элементом провода длины на расстояние от него в гауссовой системе координат определяется по формуле

(1)

где

– скорость света.

Поместим правовинтовую координатную систему XYZ в центр кольца, так чтобы плоскость XY лежала в плоскости кольца (рис. 1, 2). Так как задача симметрична относительно центра кольца, тогда достаточно найти распределение магнитного поля в плоскости, содержащей вектор сонаправленный с радиусом кольца и осью Z. Для простоты решения, выберем такую плоскость XZ и вычислим величину магнитного поля в точке (рис. 2). Величина (радиус вектор от точки до элементарного элемента кольца) в зависимости от угла определяется выражением

(2)

Элементарный вектор

запишется через

и угол

следующим образом

(3)

Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получим, что

(4)

Для того чтобы получить суммарное магнитное поле, создаваемое всем кольцом в точке , необходимо проинтегрировать каждую компоненту вектора по от 0 до 2p. Соответственно, значение X, Y и Z компонент вектора , согласно (4) задаются следующим образом:

(5)

где

К сожалению, функции вида и не выражаются через элементарные аналитические функции, поэтому для вычисления и необходимо использовать методы численного интегрирования.

Формулы (5) выражают распределения магнитного поля в плоскости XZ. Очевидно, что в силу симметрии задачи магнитное поле вдоль оси Y равно нулю и в произвольной точке магнитное поле будет равняться значению поля в точке лежащей в плоскости XZ. Соответственно формулы (5) перепишутся в виде

(6)

где

Так как величина входит в подынтегральное выражение функций и как параметр, то первую и вторую производную компонент магнитного поля вдоль оси Z можно вычислить путём прямого дифференцирования функций , по и затем дальнейшего численного интегрирования. К примеру, первая производная по в соответствии с (7) вычисляется следующим образом

(7)

По аналогии вычисляются остальные производные компонент вектора . В случае если , (точка находится на оси кольца), тогда формулы (6,7) преобразуются к виду

(8)

Зная выражения для первой и второй производных магнитного поля, можно рассчитать силу взаимодействия магнитного зонда (и ее производную) и проводника с током. Данные вычисления для случаев различной геометрии зонда приведены в приложении.

Выводы.

Получены зависимости пространственного распределения магнитного поля и его производных вдоль оси Z над поверхностью кольца с током, см. формулы (6-8).

Литература.

Д.В. Сивухин. Электричество (Общий курс физики). М.: Наука 1983. - 688 c.
Р. Фейнман., Р. Лейтос., М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм. М.: МИР 1977. - 299.