2.3.4 Малые колебания кантилевера в силовом поле

Рассмотрим случай, когда кроме вынуждающей силы (см. (1) пункта 2.3.3) на осциллятор ещё действует внешняя сила . Уравнение движения в этом случае запишется

(1)

Так как зависит только от пространственных координат, то качественный характер колебаний останется таким же, как и в (6) пункта 2.3.3. Действие силы приведёт к изменению положения равновесия осциллятора, относительно которого будут совершаться колебания. В случае малых колебаний, можно разложить в ряд Тейлора в точке , отвечающей положению равновесия

(2)

где

выражается через

следующим образом

(3)

а величину

можно определить исходя из условия:

(4)

Выполняя в уравнении (1) замену на , в соответствии с (3) и учитывая (4), получим

(5)

где

– коэффициент затухания определённый в пункте 2.3.2.

Как видно, уравнение (5) полностью идентично выражению (5) пункта 2.3.3. Переход из одного уравнения к другому обуславливается введением другого коэффициента жёсткости пружины и новым положением равновесия . Следует отметить, что членами второго порядка и выше в (2) можно пренебречь, только если выполняется условие

(6)

где

– амплитуда колебаний на частоте

, определённая ниже формулой (7). Кроме того, могут возникнуть такие ситуации, когда

. В этом случае необходимо учитывать в (2) члены более высшего порядка.

По аналогии с формулами (7, 8) пункта 2.3.3, с учётом (8) пункта 2.3.2 амплитуда колебаний , сдвиг фазы в случае наличия градиента внешних сил можно записать в виде

	(7)
	(8)

где

– амплитуда колебаний на резонансной частоте

Таким образом, наличие градиента силы приводит к дополнительному сдвигу амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ) колебательной системы. На рисунке 1 представлены АЧХ и ФЧХ при различных значениях величины .


а)	б)
Рис. 1. АЧХ – (a) и ФЧХ – (б), при различных значениях .

Резонансная частота в присутствии внешней силы по аналогии с формулой (10) пункта 2.3.3 может быть записана в виде

(9)

Следовательно, дополнительный сдвиг АЧХ равен

(10)

Если величина

, тогда выражение под корнем формулы (10) можно разложить в ряд Тейлора и соответственно

(11)

Из выражения (8) следует, что наличие градиента силы приводит к сдвигу ФЧХ, так что её точка перегиба, отвечающая значению фазы равным , находится на частоте

(12)

(13)

При условии

формула (13) совпадает с формулой (11).

Определим сдвиг фазы колебаний при наличии градиента силы. Пусть осциллятор колеблется под действием вынуждающей силы на частоте , тогда сдвиг фазы его колебаний составляет . В случае наличия градиента силы сдвиг фазы согласно формуле (8) станет равным

(14)

При условии

выражение (14) можно разложить в ряд Тейлора следующим образом

(15)

Следовательно, дополнительный сдвиг фазы при наличии градиента силы будет равен (рис. 2)

(16)


Рис. 2. Изменение фазы колебаний при изменении резонансной частоты колебаний.	Рис. 3. Изменение амплитуды колебаний при изменении резонансной частоты колебаний.

Вычислим изменение амплитуды колебаний при наличии градиента силы (рис. 3).

Максимум изменения величины

в случае изменения резонансной частоты (9) достигается на определённых частотах колебаний вынуждающей силы

. Этим частотам соответствует максимальный наклон касательной к АЧХ (линейная область АЧХ).

(17)

Изменение амплитуды колебаний (7) на частоте

(рис. 3) в случае наличия градиент силы в соответствии с формулами (7) и (11) равно

(18)

Рассмотренный тип колебаний широко используется в АСМ. В частности, для определения силового взаимодействия колеблющегося кантилевера с образцом можно исследовать изменение резонансной частоты (11), амплитуды (18) и фазы колебаний (16), а затем по полученным данным восстановить значение величины силы , к примеру, см. пункт 2.7.1.

Выводы.

Действие внешней силы , при условии (6) приводит только к изменению эффективной жёсткости осциллятора (резонансной частоты колебаний) и положения равновесия, относительно которого происходят колебания. Законы, описывающие колебания системы, остаются такими же, как и в отсутствии внешней силы.
Изменения резонансной частоты, фазы и амплитуды колебаний пропорционально градиенту внешней силы и определяются соответственно формулами (11), (16), (18).